Gdy książę Hanoweru, Jerzy Ludwik, rozpisał konkurs na swojego osobistego asystenta, Leibniz zdecydował się wziąć w nim udział. Po jego wygraniu stał się wieloletnim asystentem księcia, którą to funkcję sprawował aż do śmierci. Od roku 1676 sprawował obowiązki bibliotekarza i historiografa przy dworze hanowerskim. W tym okresie napisał: „Codex iuris gentium diplomaticus” (1693—1700), „Accesiones historicae” (1698—1700), „Scriptores rerum Brunsvicensium illustrationi inservientes” (1707—1711). Pełnił też rolę nauczyciela jego dzieci oraz jeździł po całej Europie z tajnymi misjami dyplomatycznymi. Dzięki licznym podróżom i wizytom na dworach całej Europy miał okazję poznać wszystkich ważniejszych filozofów i naukowców swoich czasów.
Przyjaźnił się z Baruchem Spinozą. Jego wielkimi adwersarzami byli między innymi: Wolter (Kandyd jest satyrą, która wyśmiewa ideę najlepszego z możliwych światów) oraz Newton, z którym prowadził publiczny spór o to, kto jest twórcą rachunku różniczkowego.

Urodził się w 1646 roku w Lipsku jako syn profesora filozofii miejscowego uniwersytetu. Wstępując na tamtejszy Uniwersytet miał 15 lat. Po skończeniu studiów filozoficznych na Uniwersytecie w Lipsku i napisaniu rozprawy naukowej pt. De principio individuali (1663), wyjechał bez zgody ojca do Heidelbergu, a potem Jeny, aby studiować nowożytną fizykę, matematykę i prawo.
Po powrocie do rodzinnego Lipska przez jakiś czas pracował na uniwersytecie, ale praca ta nie satysfakcjonowała go. Po uzyskaniu tytułu doktora praw na podstawie rozprawy pt. „De casibus perplexis in iure” (1667), wstąpił do służby dyplomatycznej i został wysłany na dwór Ludwika XIV (którego usiłował skłonić do wyprawy na Egipt) oraz do Londynu. Swój pobyt w Paryżu (1672-1676) wyzyskał także dla spraw naukowych, nawiązując stosunki z uczonymi francuskimi. Na ten czas przypada wynalezienie przez niego rachunku różniczkowego i całkowego, ogłoszonych w rozprawach: „Nova methodus pro maximis et minimis” (1684) i „De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum” (1686).

Geometria różniczkowa to dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego. Po powstaniu pierwszych elementów geometrii różniczkowej w pracach Leibniza, Newtona i starszych braci Bernoullich, XVIII w. był dla tej gałęzi geometrii okresem nowego, szerokiego rozwoju. Problem poszukiwania trajektorii postawił Jan Bernoulli (1697), który właśnie wprowadził ten termin (1698). Wiele artykułów poświęconych było badaniu krzywych, dla których dane były jakieś zależności między ich promieniem krzywizny a innymi wielkościami, związanymi z krzywą – promieniem wodzącym, odcinkiem normalnej itd.
Gottfried Wilhelm Leibniz, znany także pod nazwiskiem Leibnitz jest niemieckim polihistorem: filozof, matematyk, prawnik, inżynier–mechanik, fizyk, historyk i dyplomata. Urodził się 1 lipca 1646 w Lipsku, zmarł 14 listopada 1716 w Hanowerze.

Są cztery zwykle stosowane modele geometrii hiperbolicznej. Model Kleina wnętrza koła jako płaszczyzny hiperbolicznej i cięciwy tego koła jako linii. Zaletą tego modelu jest prostota, ale wadą jest to, że kąty w płaszczyźnie hiperbolicznej są zniekształcone. Model dysku Poincaré także angażuje wnętrze koła, ale linie są reprezentowane przez łuki koła prostopadłego do granicy koła oraz średnicy okręgu. Model półpłaszczyzny Poincaré za płaszczyznę hiperboliczną przyjmuje półpłaszczyznę Euklidesa jako określoną przez Euklidesa linię B (samo B nie jest włączane). Hiperboliczne linie są więc zarówno półokręgami prostopadłymi do B jak i promieniami prostopadłymi do B. Oba modele Poincaré zachowują hiperboliczne kąty i tym samym odpowiadają wymaganiom. Wszystkie izometrie objęte tym modelem są zatem transformacjami Mobiusa. Czwarty model jest modelem Minkowskiego, który stosuje N-wymiarową hiperboloidę o obrocie osadzonym w (N+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ten model stosuje metrykę, mocą której odległość między dwoma punktami i na hiperboloidzie wyraża się odpowiednim wzorem.

Geometria hiperboliczna ma wiele właściwości innych od geometrii euklidesowej, z których każda jest konsekwencją postulatów hiperbolicznych. Oto niektóre fakty i twierdzenia geometrii hiperbolicznej:
Przez punkt poza prostą można poprowadzić dwie (a nawet nieskończenie wiele) prostych nie przecinających danej. Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do obu jego ramion. Prosta ta nazywa się prostą zagradzającą kąta. Suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż π.
W geometrii hiperbolicznej obok jednostki rozwartości kąta (patrz radian) można także zdefiniować jednostkę długości/pola (w przeciwieństwie do geometrii euklidesowej, w której można to zrobić jedynie z kątem). Jeżeli mianowicie uzna się odległość wierzchołka kąta prostego od jego rzutu prostokątnego na zagradzającą za równą to pole każdego trójkąta jest równe π minus suma rozwartości jego kątów. Trójkąty o kątach odpowiednio tej samej rozwartości są do siebie przystające. W geometrii euklidesowej spełnienie tego warunku gwarantuje jedynie podobieństwo.

Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) to jedna z geometrii nieeuklidesowych. Pierwsze wyniki w geometrii hiperbolicznej otrzymał około roku 1700 Giovanni Gerolamo Saccheri, który starał się wykazać prawdziwość pewnika o prostych równoległych metodą sprowadzenia do sprzeczności. Założywszy zaprzeczenie wspomnianego pewnika starał się wyprowadzić stąd sprzeczność z przyjętymi założeniami. Były to twierdzenia geometrii hiperbolicznej, czego Saccheri nie uznawał i uznawszy je za wystarczająco (według ówczesnych pojęć) absurdalne, uznał sprawę za rozwiązaną przyjmując ich absurdalność za szukaną sprzeczność. Ponownie, choć tym razem świadomie, geometria hiperboliczna została odkryta przez Bolyaia, Gaussa i Łobaczewskiego, którego nazwiskiem jest czasem nazywana. Łobaczewski opublikował swoje rezultaty w roku 1830, a Bolyai, niezależnie od rosyjskiego matematyka, w dwa lata później.
Geometria hiperboliczna okazuje się być szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna o stałej i ujemnej krzywiźnie.

Para uporządkowana to w matematyce kolekcja obiektów o dwóch współrzędnych (elementach, rzutach) umożliwiająca jednoznaczne wyróżnienie dowolnego z obiektów, z których jeden nazywany jest poprzednikiem (pierwszą współrzędną, pierwszym elementem lub rzutem lewostronnym), a pozostały następnikiem (drugą współrzędną, drugim elementem lub rzutem prawostronnym). Zwyczajowym zapisem pary uporządkowanej jest , gdzie jest pierwszą współrzędną, a – drugą. Przykładem pary uporządkowanej mogą być współrzędne punktu na płaszczyźnie, a także, wynikające z odpowiedniego utożsamienia, liczby zespolone. Ogólnie obiektami i w parze nie muszą być liczby, formalnie zdefiniowana grupa jest właśnie parą uporządkowaną.
Własność charakterystyczna par uporządkowanych, wspomniana w poprzedniej sekcji, jest wszystkim co konieczne do zrozumienia istoty par uporządkowanych matematyce. Dlatego para uporządkowana może być postrzegana jako pojęcie pierwotne, którego aksjomatem jest wspomniana własność charakteryzująca. Podejście to wykorzystywała grupa N. Bourbakiego w swojej Teorii mnogości wydanej w 1954 roku, długo po podaniu odpowiedniej definicji przez Kuratowskiego.

Punkt to najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. Jest to jedno z podstawowych pojęć geometrii. Punkt ma zawsze zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznacza się na rysunku jako x (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznacza wielkimi literami alfabetu łacińskiego (A, B, C). Punkt jest w przestrzeni euklidesowej pojęciem pierwotnym, co oznacza, że nie jest definiowany z użyciem formalizmu matematycznego. Podobnie jest on pojęciem pierwotnym geometrii Riemanna i geometrii Łobaczewskiego. Istnieją jednak przestrzenie matematyczne, w którym punkt może zostać zdefiniowany. Przykładowo nakładając na przestrzeń euklidesową kartezjański układ współrzędnych, możemy w tak powstałej przestrzeni kartezjańskiej zdefiniować punkt jako parę uporządkowaną (przy większej liczbie wymiarów krotkę) liczb rzeczywistych.
Pierwszą próbę opisania pojęcia punktu podjął Euklides: Punkt to jest to, co nie składa się z części (czego nie można rozłożyć na części). Dla Euklidesa punkt jest „miejscem” bez wymiarów, co oddał w swoich postulatach czy twierdzeniach.

W 1649 roku przyjął zaproszenie królowej szwedzkiej Krystyny do Sztokholmu, która chciała pod jego kierunkiem studiować filozofię i skorzystać z jego rad przy organizowaniu szwedzkiej akademii nauk. Królowa wyznaczyła mu godzinę swoich korepetycji na piątą rano, a odbywały się one w nieogrzewanej sali. Nie mogąc znieść ostrego klimatu, filozof zmarł w roku następnym. Przyczyną śmierci były komplikacje przy leczeniu przeziębienia, które przybrało śmiertelną postać zapalenia płuc. Ze względu na nietypowe w ostatnim stadium choroby zachowanie pacjenta nadworny lekarz szwedzkiej królowej Johann van Wullen miał wątpliwości, czy śmierć Kartezjusza była wynikiem naturalnych okoliczności. Hipoteza ta nie jest jednak obecna w klasycznych opracowaniach dot. życia filozofa. Kartezjusz nigdy się nie ożenił, jednak z krótkotrwałego związku ze służącą Helene Jans miał córkę Francine (1635–1640). Miejscowość urodzenia Kartezjusza, La Haye-en-Touraine, w XIX wieku została przemianowana na La Haye-Descartes a od 1969 nazywa się Descartes.

Kartezjusz to francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej. Pochodził ze starego szlacheckiego rodu, wychowany u jezuitów w La Flèche (1606–1614), później naukę kontynuował w Paryżu. Studiował tam m.in. inżynierię wojskową. W 1616 uzyskał tytuł naukowy z dziedziny prawa na Uniwersytecie w Poitiers. W 1618 zaciągnął się do armii holenderskiej, gdzie spotkał Izaaka Beekmana, który przedstawił mu wiele nowych teorii matematycznych. Z wdzięczności Kartezjusz napisał dla niego kompendium muzyczne, opublikowane dopiero w 1650. Brał udział jako żołnierz w wyprawach wojennych w Holandii, następnie pod Tillym w Niemczech. Z rozmyślań na zimowej kwaterze nad Dunajem w 1619 wyniósł niezachwiane przekonanie, iż tylko to, co da się poznać „jasno i wyraźnie” („clair et distinct”), za prawdę uważać należy.
Kartezjusz zajmował się też optyką, chemią, mechaniką, anatomią, embriologią, medycyną, astronomią i meteorologią. Wywarł wielki wpływ na filozofię i naukę następnych stuleci.
Od 1621 zwiedził jako żołnierz pół Europy, przejściowo przebywając także w Paryżu.